Introdução à Análise Estatística Espacial

O que é Análise Estatística Espacial ?

  • São métodos estatísticos que levam em consideração a localização espacial do fenômeno estudado;

  • Segundo Bailey & Gatrell (1995), “Análise estatística espacial pode ser realizada quando os dados são espacialmente localizados e se considera explicitamente a possível importância de seu arranjo espacial na análise ou interpretação dos resultados”

  • A primeira pergunta a ser feita é: A distribuição dos dados apresenta um padrão aleatório ou apresenta uma agregação definida (clusters) ?

Origem da Estatística Espacial

  • Dr. John Snow (1813-1858) \(\rightarrow\) Considerado pai da Epidemiologia Moderna

Mapeamento dos casos de coléra (\(\bullet\)) e as bombas de água (X) em Londres, 1854.

Objetivos da Estatística Espacial

  1. Análise de padrões espaciais e espaço-temporais (ex: Análise Exploratória Espacial, Correlação Espacial)

  2. Modelagem Espacial (ex: Modelos Estatísticos de Regressão Espacial)

Dependência Espacial ou Autocorrelação Espacial

  • “Independência é um pressuposto muito conveniente que faz grande parte da teoria estatística matemática tratável. Entretanto, modelos que envolvem dependência estatística são frequentemente mais realísticos. . . . Neste tipos de dados a dependência está presente em todas as direções e fica mais fraca a medida em que aumenta a dispersão na localização dos dados.” (Cressie N.,1991)

  • “Todas as coisas se parecem, coisas mais próximas são mais parecidas que aquelas mais distantes.” (Tobler, 1979). Também conhecida como \(1^a\) Lei da Geografia

Tipologia dos Dados Espaciais

Os diferentes tipos de dados espaciais são tradicionalmente classificados de acordo com uma tipologia. Esta caracterização diz respeito a natureza estocástica da observação.

Noel Cressie (1993) divide a estatı́stica espacial em 3 grandes áreas:

  1. Dados de processos pontuais

  2. Dados de geoestatística

  3. Dados de área

Existem métodos estatı́sticos diferentes para descrever ou analisar estes tipos de dados. Exemplo:

Padrões Pontuais

  • O principal interesse está no conjunto de coordenadas geográficas representando as localizações exatas de eventos.

  • Exemplos: Localização de crimes, localização da residência dos casos de dengue, localização de espécies vegetais, etc.

  • Neste caso, o dado aleatório de interesse é a localização espacial do evento.

Estimativas de Kernel (ou Mapas de Calor)

Estimador de intensidade de distribuição de pontos:

\[\hat{\lambda}_{\tau}(u) = \dfrac{1}{\tau^2}\sum k(\dfrac{d(u_i , u)}{\tau}), d(u_i , u) \leq \tau\] *Fonte: Referência científica: Druck, S.; Carvalho, M.S.; Câmara, G.; Monteiro, A.V.M. (eds) “Análise Espacial de Dados Geográficos”. Brasília, EMBRAPA, 2004

Localização da ocorrência de casos de dengue em Belo Horizonte/MG

Geoestatística

  • Podemos definir como sendo uma análise de um atributo espacialmente contínuo amostrado em localizações fixas.

  • Os dados compreendem um conjunto de localizações (em geral latitudes e longitudes), mas atribuidos a eles uma medida, como por exemplo: volume de chuva, concentração de poluentes no ar, número de ovos de Aedes postado em ovitrampas, etc.

  • Amostragem em duas dimensões:

  • A determinação experimental do semivariograma, para cada valor de \(h\), considera todos os pares de amostras \(z(x)\) e \(z(x+h)\), separadas pelo vetor distância \(h\), a partir da equação:

\[\hat{\delta}(h) = \dfrac{1}{2N(h)}\sum^{N(h)}_{i=1}[z(x_i) - z(x_i + h)]^2 \]

  • Sendo \(\hat{\delta}(h)\) o semivariograma estimado e \(N(h)\) o número de pares de valores medidos, \(z(x)\) e \(z(x+h)\), separados pelo vetor \(h\).

  • Esta fórmula, entretanto, não é robusta. Podem existir situações em que variabilidade local não é constante e se modifica ao longo da área de estudo (heteroscedasticidade).

*Fonte: Referência científica: Druck, S.; Carvalho, M.S.; Câmara, G.; Monteiro, A.V.M. (eds) “Análise Espacial de Dados Geográficos”. Brasília, EMBRAPA, 2004

Exemplo: Mapa sobre o teor de argila no solo.

Dados de Área

  • Na análise de áreas o atributo estudado é em geral resultado de uma contagem ou uma medida de síntese (em geral somas ou médias) em uma determinada área bem definida, por exemplo um polígono.

  • Tal polígono cuja forma pode ser complexa bem como as relações de vizinhança.

  • O objetivo é a detecção e explicação de padrões e tendências observados entre áreas.

Mapa Temático

Taxas de câncer de pulmão na população branca masculina nos Estados Unidos, por condados no ano de 1998

Matriz de Vizinhança

Moran Global, Moran Local e Lisa Map

Moran Global

Moran Global

Moran Local

Moran Local

Modelos de Regressão Espacial

  • Hipótese de independência das observações em geral é Falsa \(\rightarrow\) Dependência Espacial

  • Efeitos Espaciais \(\rightarrow\) Se existir forte tendência ou correlação espacial, os resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice-versa);

  • Como verificar ? \(\rightarrow\) Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da regressão (Índice de Moran dos resíduos).

  • Autocorrelação espacial constatada ! E agora ? \(\rightarrow\) Utilizar Modelos de regressão que incorporam efeitos espaciais:

    1. Modelos Globais: utilizam um único parâmetro para capturar a estrutura de correlação espacial \(\rightarrow\) ex: Spatial Error Models (CAR)

\[y_i = \beta_0 + \sum^{p}_{k} \beta_k x_{ik} + \varepsilon_i \text{ , sendo } \varepsilon_i = \lambda W + \xi\]

  • Os efeitos da autocorrelação espacial são associados ao termo de erro. Sendo \(W\) a matriz de vizinhaça, \(\varepsilon\) a componente do erro com efeitos espaciais, \(λ\) é o coeficiente autoregressivo e \(\xi\) é a componente do erro com variância constante e não correlacionada.

  • A hipótese nula para a não existência de autocorrelação é que \(\lambda = 0\), ou seja, o termo de erro não é espacialmente correlacionado.

    1. Modelos Locais: parâmetros variam continuamente no espaço ex: Geographically Weighted Regression (GWR)

\[y_i = \beta_{0}(u_i, v_i) + \sum^{p}_{k} \beta_k (u_i, v_i) x_{ik} + \varepsilon_i \text{ , sendo } (u_i, v_i) \text{ as coordenadas geográficas}\] Fonte: ARDILLY, Pascal et al. Manuel d’analyse spatiale. 2018.

Serão apresentadas duas aplicações de Estatística Espacial utilização o pacote estatístico R

Aplicação I: Construindo mapas a partir da biblioteca geobr

Bibliotecas que serão utilizadas:

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(viridis)
library(geobr)
library(sf)
library(maptools)
library(leaflet)
library(ggspatial)

Para acessar os dados dos limites territoriais de todos os estados brasileiros é necessário utilizar a função read_state.

brasil.ufs <- read_state(code_state = "all", year = 2019, showProgress = FALSE)

Primeiro, vamos fazer um gráfico apenas com as geometrias.

ggplot(brasil.ufs) + geom_sf()

Para a construção de um mapa onde cada estado recebe uma cor de acordo com a sua região geogrática, procedemos da seguinte forma:

ggplot(brasil.ufs) + geom_sf(aes(fill = name_region)) + labs(fill = "Região")

Agora utilizaremos dados relativos a porcentagem de municípios com rede de esgoto de acordo com a unidade da federação ( fonte dos dados ) para fazer um gráfico. Vamos associar esses dados a tabela de acordo com a variável State e padronizaremos a porcentagem para variar de 0 a 100.

acesso_san <- data.frame(code_state = c(12, 27, 16, 13, 29, 23, 53, 32, 52, 21, 51, 
    50, 31, 15, 25, 41, 26, 22, 33, 24, 43, 11, 14, 42, 35, 28, 17), com_rede = c(0.273, 
    0.412, 0.313, 0.177, 0.513, 0.696, 1, 0.974, 0.28, 0.065, 0.191, 0.449, 0.916, 
    0.063, 0.731, 0.421, 0.881, 0.045, 0.924, 0.353, 0.405, 0.096, 0.4, 0.352, 0.998, 
    0.347, 0.129))

ggplot(mutate(left_join(brasil.ufs, acesso_san, by = "code_state"), com_rede = 100 * 
    com_rede), aes(fill = com_rede), color = "black") + geom_sf() + scale_fill_viridis(name = "Municípios com rede de esgoto (%)", 
    direction = -1) + xlab("Longitude") + ylab("Latitude") + annotation_scale(location = "bl") + 
    annotation_north_arrow(location = "br") + theme_minimal()

Uma forma alteranativa de apresentar esses mesmos dados se dá pela apresentação de círculos com raios proporcionais a porcentgem de municípios com rede de esgoto no centroide de cada geometria (nesse caso, UF).

coord_pontos <- st_centroid(mutate(left_join(brasil.ufs, acesso_san, by = "code_state"), 
    com_rede = 100 * com_rede))

ggplot(brasil.ufs) + geom_sf() + geom_sf(data = coord_pontos, aes(size = com_rede), 
    col = "blue", alpha = 0.65, show.legend = "point") + scale_size_continuous(name = "Municípios com rede de esgoto (%)") + 
    xlab("Longitude") + ylab("Latitude") + annotation_scale(location = "bl") + annotation_north_arrow(location = "br") + 
    theme_minimal()

Uma alternativa interativa para trabalhar com mapas é com a utilização do pacote leaflet

addCircleMarkers(addTiles(leaflet(data.frame(st_coordinates(coord_pontos), com_rede = coord_pontos$com_rede, 
    UF = coord_pontos$name_state))), ~X, ~Y, label = ~as.character(paste0(UF, ": ", 
    com_rede, "%")), labelOptions = labelOptions(textsize = "13px"), radius = ~com_rede/10, 
    fillOpacity = 0.5)

Créditos ao Thiago Mendonça

Aplicação II: Análise exploratória utilizando os dados de dengue em Dourados/MS

Biliotecas do R que serão utilizadas

library(readr)
library(tidyverse)
library(sf)
library(maptools)
library(spatstat)
library(tmap)

Lendo a tabela da população por setor censitário e os shapes files do contorno e por setor censitário de Dourados/MS

unzip("dados/pop2010.zip", exdir = "dados")
pop2010 <- read_csv("dados/pop2010.csv")

unzip("malhas/Setor_UTM_SIRGAS.zip", exdir = "malhas")
setor.sf <- read_sf("malhas/Setor_UTM_SIRGAS.shp", crs = 31981)

unzip("malhas/contorno.zip", exdir = "malhas")
contorno.sf <- read_sf("malhas/contorno.shp", crs = 31981)
  • OBS: Um aspecto muito importante dos dados espaciais é o sistema de referência de coordenadas (CRS) que é usado. Por exemplo, uma localização de (140, 12) não é significativa se você sabe onde está a origem e se a coordenada x está a 140 metros, quilômetros ou talvez graus de distância dela (na direção x). (link)

Fazendo um join com as tabelas com os setores censitários + população

setor.sf <- setor.sf %>% mutate(idsetor = as.numeric(CD_GEOCODI)) %>% inner_join(pop2010, 
    by = "idsetor")

Lendo e plotando os casos de dengue georreferenciados em Dourados/MS

unzip("dados/dengue_dourados.zip", exdir = "dados")
casos <- read_csv("dados/dengue_dourados.csv")
casos.sf <- st_as_sf(casos, coords = c("X", "Y"), crs = 31981)
ggplot(setor.sf) + geom_sf(fill = "white", color = "black") + geom_sf(data = casos.sf, 
    color = "red", size = 1) + theme_void()

Lendo e plotando os os pontos de coleta de lixo georreferenciados em Dourados/MS

unzip("dados/lixo_dourados.zip", exdir = "dados")
lixo <- read_csv2("dados/lixo_dourados.csv")
lixo.sf <- st_as_sf(lixo, coords = c("X", "Y"), crs = 31981)
ggplot(setor.sf) + geom_sf(fill = "white", color = "black") + geom_sf(data = lixo.sf, 
    color = "blue", size = 1) + theme_void()

Como podemos observar, existem alguns pontos de coleta de lixo fora do contorno de Dourados/MS

Uma forma de ficarmos só com os pontos dentro do polígono é utilizando o comando st_intersection.

lixo2.sf <- st_intersection(contorno.sf, lixo.sf)
ggplot(setor.sf) + geom_sf(fill = "white", color = "black") + geom_sf(data = lixo2.sf, 
    color = "blue", size = 1) + theme_void()

Utilizando as informações dos casos (pontos) + do lixo (ponto) + população de cada setor censitário (mapa temático)

ggplot(setor.sf) + geom_sf(aes(fill = pop)) + geom_sf(data = casos.sf, color = "red", 
    size = 0.7, aes(colour = "Caso"), show.legend = "point") + geom_sf(data = lixo2.sf, 
    color = "salmon", size = 1, aes(colour = "Lixo"), show.legend = "point") + scale_fill_distiller(palette = "PuBu", 
    direction = 1) + scale_colour_manual(values = c(Caso = "red", Lixo = "slamon")) + 
    theme_minimal()

Agora serão construidos buffers de 500m de distância ao redor de cada ponto de coleta de lixo. Isso é interessante para verificar se os casos de dengue ocorrem em um raio de até 500m de distância dos pontos de coleta de lixo. Ou seja, a pergunta é, será que a distância dos pontos de coeta de lixo influenciam a ocorrência do caso de dengue ?

Buffers: São polígonos que contornam um objeto a uma determinada distância. Sua principal função é materializar os conceitos de “perto” e “longe”.

lixo_buffer <- st_buffer(lixo2.sf, 500)

ggplot(setor.sf) + geom_sf(aes(fill = pop)) + geom_sf(data = lixo_buffer, color = "gray", 
    fill = "transparent", size = 0.4) + geom_sf(data = casos.sf, color = "red", size = 0.7) + 
    scale_fill_distiller(palette = "PuBu", direction = 1) + scale_colour_manual(values = c(Caso = "red", 
    Lixo = "slamon")) + theme_minimal()

Represntando os casos e o lixo de forma interativa

tm_shape(setor.sf) + tm_borders("black") + tm_shape(casos.sf) + tm_dots("red") + 
    tm_shape(lixo.sf) + tm_dots("green") + tm_shape(lixo_buffer) + tm_borders("blue") + 
    tmap_mode("view")

Convertendo o dado de pontos (padrão pontual) para dados de área

## conta casos por setor 
casos.sf$contador <- 1 
casos <- setor.sf |>  
  st_join(casos.sf) |> 
  filter(CLASSI_FIN == 1) %>%  ## seleciona somente os casos confirmados
  group_by(ID) |> 
  summarise(casos = sum(contador))

st_geometry(casos) <- NULL  ## remove atributos de geometria

## numero de depositos de Lixo por setor 
lixo.sf$contador <- 1 

lixo <- setor.sf |>  
  st_join(lixo.sf) |> 
  group_by(ID) |> 
  summarise(lixo = sum(contador))

st_geometry(lixo) <- NULL ## remove atributos de geometria

# Inserindo as contagens dos casos e de pontos de coleta de lixo no atributo com a geometria.
setor.sf <- setor.sf |> 
  left_join(lixo,by = 'ID') |> 
  left_join(casos,by = 'ID')

Plotando o mapa temático dos casos por setor censitário

plot(setor.sf["casos"])

Plotando o mapa temático dos pontos de coleta de lixo por setor censitário

plot(setor.sf["lixo"])

Calculando a taxa de incidência e plotando o mapa temático dos pontos de coleta de lixo por setor censitário

setor.sf$tx <- (setor.sf$casos/setor.sf$pop) * 1000
setor.sf$tx[is.na(setor.sf$tx)] <- 0  # Transformando os missings em zero

summary(setor.sf$tx)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  0.000   0.000   1.736   4.065   4.311  56.399

Plotando a distribuição da incidência em Dourados/MS

library(wesanderson)
pal <- wes_palette("Moonrise3", 20, type = "continuous")

ggplot(setor.sf) + geom_sf(aes(fill = tx), color = "black") + scale_fill_gradientn(colours = pal) + 
    ggtitle("Taxa de incidência de Dengue") + theme_void()

Kernel por atributos

Vamos plotar o kernel por atributos referente a taxa de incidência de dengue em Dourados/MS.

Primeiramente é necessário dissolver os polígonos em formato sf para obter o contorno. Nesse caso queremos preservar o atributo AREA

dourados.contorno <- st_union(setor.sf)
plot(dourados.contorno)

dourados.w <- as.owin(st_geometry(dourados.contorno))

Extraindo os centróides dos polígonos em Dourados/MS

centroides <- st_centroid(st_geometry(setor.sf))

# Transformando em os centróides em formato sp
centroides.sp <- as.data.frame(as_Spatial(centroides))
names(centroides.sp) <- c("X", "Y")

plot(centroides.sp)

Colocando os pontos no formato sp

centroides.ppp <- ppp(centroides.sp$X, centroides.sp$Y, dourados.w)

plot(centroides.ppp, pch = 19, cex = 0.5)

Fazendo o kernel por atributo da taxa de detecção

kernel.tx <- density(centroides.ppp, 500, weights = setor.sf$tx, scalekernel = TRUE)
plot(kernel.tx)

Matriz de Vizinhança

Construindo a matriz de vizinhança para verificar a autocorrelação espacial

library(spdep)
viz <- poly2nb(setor.sf)
viz
Neighbour list object:
Number of regions: 284 
Number of nonzero links: 1726 
Percentage nonzero weights: 2.139952 
Average number of links: 6.077465

Iremos precisar da coordenadas dos centróides

setor.sp <- as(setor.sf, "Spatial")  # convertendo em formato sp
coord <- coordinates(setor.sp)  # coordenadas dos centroidas dos poligonos de dourados
class(setor.sp)
[1] "SpatialPolygonsDataFrame"
attr(,"package")
[1] "sp"

Verificando a malha de conectividade da vizinhança de Dourados/MS

viz.sf <- as(nb2lines(viz, coords = coord), "sf")
viz.sf <- st_set_crs(viz.sf, st_crs(setor.sf))

# Plota o grafo de conectividade por contiguidade
mapa.viz <- ggplot(setor.sf) + geom_sf(fill = "salmon", color = "white") + geom_sf(data = viz.sf) + 
    theme_minimal() + ggtitle("Vizinhança por \n conectividade") + ylab("Latitude") + 
    xlab("Longitude")
mapa.viz

Obtendo a correlação da taxa de incidência de dengue Dourados/MS

pesos.viz <- nb2listw(viz)
moran.test(setor.sf$tx, pesos.viz)

    Moran I test under randomisation

data:  setor.sf$tx  
weights: pesos.viz    

Moran I statistic standard deviate = 15.724, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: greater
sample estimates:
Moran I statistic       Expectation          Variance 
      0.524720303      -0.003533569       0.001128660

Plotando o correlograma

correl <- sp.correlogram(viz, setor.sf$tx, order = 8, method = "I")
correl
Spatial correlogram for setor.sf$tx 
method: Moran's I
           estimate expectation    variance standard deviate Pr(I) two sided
1 (284)  0.52472030 -0.00353357  0.00112866          15.7239       < 2.2e-16
2 (284)  0.23776816 -0.00353357  0.00048540          10.9525       < 2.2e-16
3 (284)  0.09536593 -0.00353357  0.00028358           5.8729       4.282e-09
4 (284) -0.02063378 -0.00353357  0.00019736          -1.2172         0.22351
5 (284) -0.07589158 -0.00353357  0.00016732          -5.5939       2.221e-08
6 (284) -0.06448448 -0.00353357  0.00016165          -4.7940       1.635e-06
7 (284) -0.02708340 -0.00353357  0.00016725          -1.8210         0.06861
8 (284) -0.02744543 -0.00353357  0.00018328          -1.7662         0.07735
           
1 (284) ***
2 (284) ***
3 (284) ***
4 (284)    
5 (284) ***
6 (284) ***
7 (284) .  
8 (284) .  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
plot(correl)

Mapeando os polígonos que tiveram os p-valores mais significativos no Moran Local.

setor.sf$pval <- localmoran(setor.sf$tx, pesos.viz)[, 5]

tm_shape(setor.sf) + tm_polygons(col = "pval", title = "p-valores", breaks = c(0, 
    0.01, 0.05, 0.1, 1), border.col = "white", palette = "-Oranges") + tm_scale_bar(width = 0.15)

Moran Local (Lisa Map) da taxa de incidência Dourados/MS

resI <- localmoran.sad(lm(setor.sf$tx ~ 1), 1:length(viz), viz, style = "W")
summary(resI)[1:10, ]
    Local Morans I Stand. dev. (N)   Pr. (N) Saddlepoint  Pr. (Sad)
1 1   -0.009885292     -0.01575255 0.5062841 -0.03600714 0.51436167
2 2    0.226981101      0.46511580 0.3209243  0.70056077 0.24178858
3 3   -0.010910944     -0.01829621 0.5072987 -0.04041673 0.51611955
4 4    0.484675519      1.31014141 0.0950740  1.43930439 0.07503215
5 5    0.018648578      0.05952726 0.4762661  0.09384037 0.46261798
     Expectation  Variance    Skewness Kurtosis   Minimum  Maximum
1 1 -0.003533569 0.1625854 -0.05147857 8.753481 -57.75455 56.75455
2 2 -0.003533569 0.2456263 -0.04188294 8.752890 -70.87400 69.87400
3 3 -0.003533569 0.1625854 -0.05147857 8.753481 -57.75455 56.75455
4 4 -0.003533569 0.1388594 -0.05570264 8.753780 -53.41199 52.41199
5 5 -0.003533569 0.1388594 -0.05570264 8.753780 -53.41199 52.41199
            omega       sad.r       sad.u
1 1 -0.0001369880 -0.01569409 -0.01569909
2 2  0.0028119325  0.44472643  0.49831660
3 3 -0.0001590844 -0.01822753 -0.01823490
4 4  0.0066304485  1.08297547  1.59298211
5 5  0.0005595065  0.05929966  0.05942125
 [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 5 rows ]
setor.sf$MoranLocal <- summary(resI)[, 1]

library(scales)

ggplot(setor.sf) + geom_sf(aes(fill = MoranLocal), color = "black") + scale_fill_gradientn(colours = c("blue", 
    "white", "red"), values = rescale(c(min(setor.sf$MoranLocal), 0, max(setor.sf$MoranLocal))), 
    guide = "colorbar") + ggtitle("Moran local") + theme_void()

Bibliografia sugerida

  • Druck, S.; Carvalho, M.S.; Câmara, G.; Monteiro, A.V.M. (eds). Análise Espacial de Dados Geográficos. Brasília, EMBRAPA, 2004.

  • Interactive Spatial Data Analysis by Trevor C. Bailey , Anthony C. Gatrell Routledge, 1995

  • Applied Spatial Statistics for Public Health Data; Lance A. Waller, Carol A. Gotway Wiley-Interscience 1St ed. 2004

  • Applied Spatial Data Analysis with R; Roger S. Bivand, Edzer Pebesma , Virgilio Gomez-Rubio Springer; Edição: 2nd ed. 2013

  • Geocomputation with R by Robin Lovelace, Jakub Nowosad and Jannes Muenchow. Geocomputation with R, 2021.

Programa de Pós-Graduação em Epidemiologia em Saúde Pública (ENSP/FIOCRUZ)

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Programa de Pós-Graduação em Ciências Veterinárias (IV/UFRRJ)

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